兄の影響で小学3年時に軟式野球を始め、中学時代は硬式の島田ボーイズでプレーをしていました。

中学卒業後は神奈川県の桐蔭学園高等学校に進学。1年夏からベンチ入りし、2年秋から主将となり、その秋季大会では県大会で準優勝の成績を収めると、関東大会でチームを24年ぶりの優勝に導きました。

2019年10月17日に行われたドラフト会議では横浜DeNAベイスターズから1位指名を受け、入団しました。

森敬斗は、プロ野球界きってのイケメンだと言われており、ネット上でも「イケメンすぎる」「ジャニーズみたい」と話題になっているようです。

2019年10月17日に行われたドラフト会議で横浜DeNAベイスターズから1位指名を受けた当時からイケメンぶりが話題になっており、少年野球時代の指導者だった鈴木亨監督から、当時からのイケメンぶりを見て「ジャニーズに入れた方がいいんじゃないか？」と冗談で話していたというエピソードが明かされています。

2022年9月12日に行われたDeNAベイスターズの試合前の始球式でスペシャルゲストとして登板したジャニーズJr.内の人気ユニット「HiHi Jets」のメンバーである高橋優斗がセレモニー後に始球式でバッターを務めた森敬斗に「なんでジャニーズに入らないんですか？」と冗談で聞いていた様子がファンの間で話題になりました。

2022年10月9日、横浜スタジアムでの阪神とのクライマックスシリーズファーストステージ第2戦を前にした練習で、丸刈り頭を披露し注目を集めました。

球界屈指のイケメンと称される森敬斗の突然の丸刈りにざわつくファンも多くいました。ジャニーズ級のイケメンの突然の変貌にネット上では「イケメンは丸刈りでもイケメン！」、「頭の形がキレイね」、「顔も綺麗やけど頭の形も綺麗」などコメントが相次ぎました。

プロ野球選手の中では大柄ではありませんが、バランスの取れた体格で、50メートル5秒8に加え遠投120メートルという俊足強肩を誇っています。